無知すぎて申し訳ないのですが教えてください。

無知すぎて申し訳ないのですが教えてください。
失業保険はどの会社でも必ず加入しているものなんですか？
正社員の仕事を辞めて失業手当が貰えないというのはありえないですか？
また、退職してすぐに新しく就職が決まった場合は失業手当ては貰えないのでしょうか？

失業保険の事がさっぱりわからず困ってます。
ご回答よろしくお願いします。

正社員の仕事を辞めて失業手当が貰えないというのは殆どの場合ありえないです
なかには雇用保険に加入してない会社もありますが、その場合は職安に申し出れば。
遡って納める事が出来ますので、基本手当てがもらえないということはありえません

退職してすぐに新しく就職が決まった場合は失業状態ではないので失業手当ては貰えません

仕事を半年で自己退職した場合
失業保険は貰えませんか？
1年は働かないと行けないのでしょうか？
教えて下さい。

雇用保険に加入ということが絶対条件です。（働いた期間ではなく被保険者期間です）
働いた場所がそこだけで半年なら会社都合なら受給できますが、自己都合なら１２ヶ月必要です。
また、働いた会社がそこだけではなく、過去１年以内に転職した場合はそこの期間も通算できますから通算で上記の期間があれば受給できます。

７月末で退職することになりました。

社会保険について、すみませんが教えて下さい。

３０日付けで退職するのか、３１日付けで退職するのかを聞かれました。

それで、社会保険が７月か８月まで掛けるのか変わると言われたのですが、良く意味が分かりません。

社会保険とは健康保険、年金、失業保険の事でしょうか？

３１日付けの場合は、１カ月分、給料から引かれるとの事ですか？

２５日に給料を貰って欠勤扱いで構わないと言われました。

どのような事なのでしょうか？

１社会保険とは健康保険、年金、失業保険の事でしょうか？
→「社会保険」とは，健康保険と厚生年金のことを指していうことが多いようです。

２３１日付けの場合は、１カ月分、給料から引かれるとの事ですか？
→健康保険と厚生年金は，退職日の翌日に被保険者資格を喪失します。そして，保険料は資格喪失月の前の月までかかります。
よって，7月30日付け退職の場合には，7月31日に資格喪失するので，保険料は６月分までしかかかりません。一方，7月31日付け退職の場合には8月1日に資格喪失するので，保険料は7月分までかかります。
ともに最後の保険料は，7月に支給する給与から天引きします。7月31日付け退職の場合には，7月に支給する給与から6月分・7月分の保険料が天引きされます。
なお，雇用保険のことも社会保険に含める場合がありますが，雇用保険の被保険者期間は月単位で，退職日からさかのぼって賃金の支払いの基礎となった日数（：欠勤扱いでない日の日数）が11日以上あるかどうかで数えていくので，退職日が30日付けか31日付けかは，保険料には直接関係ありません。

３２５日に給料を貰って欠勤扱いで構わないと言われました。
→意味が分かりません。

失業保険の待機中に元の会社でアルバイトはできるのでしょうか
3月に退職したのですが、引継ぎが不十分だったので、後始末に行きたいと思います。
私としては無償でいいと言っているのですが、会社が「日当は払う」と譲りません。
気持ちはありがたいのですが、私は3月末日で離職票を発行してもらい、失業保険の申請をしておきたいのです。
もらう日当は金額も少なめで、雇用保険や所得税が発生する額にはなりません。
とはいえ、元いた場所で働き続けるような形になってしまった状態で、失業保険の申請はできるものなのでしょうか。

待機期間中は、無償であっても仕事をしてはいけません。

3月末日で退職の離職票を発行してもらい、有償で引継ぎに行き、終わってからハローワークへ求職の申し込みに行ってください。